「1/3」と「0.3333…」は同じか？

どうも。
Akkeyです。

さて、昨日ですが新作アプリを公開しました。

1～9のランダムな数字のカード4枚と
「+」「-」「×」「÷」「（」「）」の四則演算とカッコの6枚のカードで
0になる数式をつくるゲームです。

大人になると計算も電卓です。
最近は電卓もスマホの機能ですぐ使用できるのでますます頭を使いませんね。
よくないよくない。

このアプリで単純な計算を解いていて思い出したことが2つあります。

それはそれはAkkey少年が中学生の時のこと。

①数字を0で割ると答えはいくつになるのか？
②1を3で割った答えの「1/3」と「0.3333…」は同じか？

今考えるとなんて事無いですが、
当時の偏屈な少年Aは先生を困らせたものです。

①は、ゼロで割るということは↓

3÷0 = □　です。
これは
□×0 = 3　と同じことですね。

したがって□に何を入れてもダメです。。
数学では0で割る演算は定義されません。
先生ごめんなさい。


②は、本当に当時は納得できませんでした。
1を3で割ると答えは「1/3」と「0.3333…」になりますね。
ということは、当然その答え２つは同じ(=)なはずです。
が、しかし！

1/3 × 3 = 1
0.3333… × 3 = 0.9999…

上は1になりますが、下は1になりません。

この2つは違うやんかぁー！

でもwikiを見てみると、
「数学において、小数点以下の各位にすべて9が並ぶ循環（十進）小数 0.999... が実数を表すものならば、それはちょうど 1 に等しい。」

余計わからん…

ちなみに当時の先生がしてくれた証明がこれ。

① a = 0.999…

② 両辺を10倍する
　　10a = 9.999…

③ ②-①をする
　　9a = 9.000…

④ 両辺を9で割る
　　a = 1

⑤ したがって下が成り立つ
　　1 = 0.999…

結構この疑問において子供に教える有名な証明みたいです。
先生ごめんなさい。